Живот

Како доказати комплементарно правило у вероватноћи

Како доказати комплементарно правило у вероватноћи


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Из аксиома вероватноће се може извести неколико теорема вероватноће. Ове теореме се могу применити за израчунавање вероватноћа које бисмо можда желели да знамо. Један такав резултат познат је као правило комплементације. Ова изјава омогућава нам да израчунамо вероватноћу неког догађаја А знајући вероватноћу комплемента АЦ. Након навођења правила комплемента, видећемо како се овај резултат може доказати.

Правило комплемента

Допуна догађаја А је означено са АЦ. Допуна А је скуп свих елемената у универзалном скупу, или узорак простора С, који нису елементи скупа А.

Правило комплемента се изражава следећом једначином:

П (АЦ) = 1 - П (А)

Овде видимо да вероватноћа неког догађаја и вероватноћа његовог допуњавања морају бити једнаки 1.

Доказ правила допуне

Да бисмо доказали правило комплемента, започињемо с аксиомима вероватноће. Ове изјаве се претпостављају без доказа. Видећемо да се они могу систематски користити да докажу нашу изјаву вероватноће комплементације неког догађаја.

  • Први аксиом вероватноће је да је вероватноћа било ког догађаја ненегативни реални број.
  • Други аксиом вероватноће је вероватноћа целог простора узорка С је један. Симболично пишемо П (С) = 1.
  • Трећи аксиом вероватноће каже да Ако А и Б се међусобно искључују (што значи да имају празан пресек), тада вероватноћу сједињења тих догађаја наводимо као П (А У Б ) = П (А) + П (Б).

За правило комплемента, нећемо требати да користимо први аксиом на горњој листи.

Као доказ наше изјаве сматрамо догађаје Аи АЦ. Из теорије скупова знамо да ова два скупа имају празан пресек. То је зато што елемент не може истовремено бити у оба А а не унутра А. Пошто постоји празно раскрсницу, ове две групе се међусобно искључују.

Уједињење два догађаја А и АЦ су такође важни. Они представљају исцрпне догађаје, што значи да је унија тих догађаја сав простор узорка С.

Те чињенице у комбинацији са аксиомима дају нам једначину

1 = П (С) = П (А У АЦ) = П (А) + П (АЦ) .

Прва једнакост је последица другог аксиома вероватноће. Друга једнакост је због тога што су догађаји А и АЦ исцрпни су. Трећа једнакост је због трећег аксиома вероватноће.

Горња једначина може се преуредити у облик који смо навели горе. Све што морамо учинити је одузети вероватноћу А са обе стране једначине. Тако

1 = П (А) + П (АЦ)

постаје једначина

П (АЦ) = 1 - П (А).

Наравно, правило можемо изразити и тако што ћемо:

П (А) = 1 - П (АЦ).

Све три ове једначине су једнаки начини изговора исте ствари. Из овог доказа видимо како само два аксиома и нека теорија скупова помажу да докажемо нове изјаве у вези вероватноће.


Погледајте видео: Др Тодор Вулић: Историја нам се у тачном временском периоду понавља (Децембар 2022).

Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos